L’hypothèse cachée dans l’optimisation de Markowitz

L’optimisation de Markowitz, prix Nobel en 1990, décédé en juin 2023, a eu un impact majeur sur la finance. Elle a influencé la gestion discrétionnaire d’actifs, avec une meilleure diversification, les gestions systématiques (portefeuilles risk parity, minimum variance, maximum diversification, fonds alternatifs quantitatifs), ainsi que la restructuration de l’industrie autour des indices et des ETF (exchange-traded funds), mais aussi la finance d’entreprise, avec la fameuse formule du MEDAF (Modèle d'évaluation des actifs financiers) qui définit depuis les taux d’actualisation ou les taux de rendement exigé.

Pourtant, il y a une unanimité pour considérer que dans la pratique, la formule de Markowitz ne fonctionne pas. Dans mon article (1) paru dans le Journal of Investment Strategies, j’introduis une deuxième matrice qui a un impact pour la gestion d’actifs, pour ceux qui ne considèrent pas que le marché est à l’équilibre et qui veulent battre ce dernier. Il semblerait qu’il faille juste éviter d’utiliser la formule de Markowitz (l’inverse de la matrice de corrélation) pour optimiser son portefeuille. Les praticiens sauront ainsi pourquoi la formule de Markowitz ne donne pas de bons résultats, qu’il faut arbitrairement réduire les corrélations ou ajuster sa formule.

Pour rappel, l’optimisation de portefeuille se base sur la minimisation du risque, sous contrainte de maintenir constante la rentabilité du portefeuille. Markowitz dérive alors la solution en supposant principalement que l’espérance des rendements des différents actifs est connue (et certaine) et que le risque est mesuré par les écarts-types des rendements. La solution dérivée mathématiquement revient alors simplement à déterminer les poids en risque du portefeuille selon les espérances normalisées par les risques (ratios de Sharpe), retransformées par l’inverse de la matrice de corrélation des rendements. Cette transformation va perturber la construction du portefeuille, en surpondérant les poids des actifs qui apportent de la diversification ou de la couverture, pour ceux qui sont peu corrélés ou négativement corrélés, et en sous-pondérant les autres. Malheureusement, en pratique, la formule de Markowitz considère que les espérances et les corrélations ne sont pas incertaines. Elle va se concentrer sur des combinaisons qui généreraient de fortes rentabilités un peu aberrantes, basées sur les quelques corrélations et espérances trompeuses considérées comme sûres et certaines.

En 2018, un article écrit par des physiciens qui se basaient sur des considérations de symétrie inspirées de la physique prétendait que seul le portefeuille « rotationnel invariant » devrait être le portefeuille qui fait sens. Or ce portefeuille est déterminé par l’inverse de la racine carrée de la matrice de corrélation, ce qui est incohérent avec la formule de Markowitz et l’inverse de la matrice de corrélation. Les auteurs n’ont toutefois pas montré l’optimalité d’un tel portefeuille.

L’incohérence entre les deux formules m’a fortement intrigué. Je me suis rendu compte qu’il fallait introduire une deuxième matrice de corrélation pour décrire les corrélations entre les espérances des rendements, qui étaient en fait elles-mêmes stochastiques et incertaines. Un de mes collègues m’avait alors rétorqué que rajouter de l’incertitude aux espérances ne faisait qu’augmenter la variance. Néanmoins, l’incertitude de l’espérance ne génère pas de risque, en tout cas pas celui qui est mesuré par les praticiens*. La deuxième matrice de corrélation peut être interprétée aussi comme la matrice de corrélation des rendements sur des échelles de temps grandes (supérieures à plusieurs années), alors que la première matrice se base sur des rendements en prenant des échelles de temps courtes (inférieures au mois).

La solution optimale en intégrant cette deuxième matrice a été dérivée dans mon article. Elle dépend non seulement de la matrice de corrélation des rendements mais aussi de cette deuxième matrice qui reste inconnue car difficile à estimer. Puis plusieurs formes de cette deuxième matrice ont été implicitement identifiées dans plusieurs cas, notamment pour retrouver la solution de Markowitz ou celle en racine carrée des physiciens, et ainsi unifier les différentes approches. Pour retrouver celle de Markowitz, il faut que la deuxième matrice de corrélation soit similaire à la première avec une invariance de la matrice de corrélation. Pour retrouver celle des physiciens, il faut que la deuxième matrice de corrélation ait une certaine forme aléatoire. Or la forme aléatoire semble bien plus probable. Ainsi la racine de la matrice de corrélation serait plus adaptée, ce qui revient quand les corrélations sont faibles à les réduire préalablement par deux dans l’optimisation de Markowitz. C’est d’ailleurs une « recette de cuisine » couramment utilisée, et qui est maintenant justifiée.

En résumé, cette deuxième matrice qui est introduite n’a pas d’impact sur la formule du MEDAF où le portefeuille de marché est supposé à l’équilibre, avec pour conséquence une invariance de la matrice de corrélation. Il est clair que Markowitz a obtenu le prix Nobel car d’autres économistes, dont Sharpe, ont poursuivi ses travaux en aboutissant au MEDAF, modèle d'équilibre, qui détermine les espérances théoriques des rendements afin que le portefeuille de marché (celui qui est possédé par l’ensemble des investisseurs) soit le portefeuille optimal. On retrouve ainsi le lien entre la rentabilité exigée par les financiers, la rentabilité du taux sans risque et le bêta de l’investissement par rapport à ce portefeuille de marché supposé optimal.

Mais, maintenant nous savons, grâce à cette deuxième matrice, pourquoi il vaut mieux éviter d’utiliser l’inverse de la matrice de corrélation pour optimiser son portefeuille.

[1] VALEYRE, S. «Optimal trend-following portfolios», Journal of Investment Strategies 2024 volume 12 N°3.

*L’incertitude de l’espérance ne génère pas un risque qui diffuse en racine du temps, mais un risque qui croît proportionnellement avec l'échelle de temps, donc qui est négligeable à l’échelle de la journée ou du mois. Pour rappel, Markowitz ne prend dans son analyse qu’une seule période d’investissement pour la détermination de l’espérance des rendements, du risque et des corrélations. Dans la pratique, les corrélations sont mesurées à partir des rendements journaliers, hebdomadaires ou mensuels qui n’est pas la période d’investissement et les corrélations des espérances ne sont pas mesurables directement.